Satz des Pythagoras / Quadratische Gleichungen

imacer

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Hallo werte Macuser,

ich brauche Hilfe bei einer Matheaufgabe. Ich habe einer Person vollmundig versprochen, bei der Korrektur einer Mathearbeit zu helfen und komme nun selbst nicht weiter.
Es geht um ein rechtwinkliges Dreieck. Gegeben ist die Länge der Hypothenuse mit 15 cm und die Summe der Längen der beiden Katheten mit 21 cm.
Klar ist mir nach über 20 Jahren ohne Matheunterricht noch der Satz des Pythagoras a^2 + b^2 = c^2
Festhalten kann ich auch, dass sowohl a, als auch b < 15 cm sein müssen und halt a + b = 21 cm
Die Lösung konnte ich mir auch im Kopf herleiten...weil ganze Zahlen herauskommen :)
a = 9 cm
b = 12 cm
Aber einen Lösungsweg in Form einer Formel kann ich nicht ableiten.
Was muss ich in diesem Fall anwenden? Habe schon gegoogelt, aber dort habe ich nur Fälle gefunden wo Hypothenuse und eine Kathete bekannt sind, oder ein weiterer Winkel (neben dem Rechtwinkligen).
Wäre super, wenn mir hier jemand mit einer anzuwendenen Formel oder dem Lösungsweg helfen könnte.

Besten Dank.

imacer
 
Gegeben:
a^2 + b^2 = c^2
c = 15
a+b = 21 -> a = 21 - b

Einsetzen:

(21-b)^2 + b^2 = c^2

ausrechnen:

21^2 - 2*21*b + b^2 + b^2= 15^2

2b^2 - 42*b + 216 - 0

quadr. Lösungsformel, fertig.
 
... Einfach !
Schon was länger her mit der Mathe was .... ;)

Also:

1) c = 15
2) a + b = 21
===>
3) a = 21 - b

nun in die Gleichung des P. einsetzen !

a² + b² = c²; mit 3)

(21-b)² + b² = c²


.. da war ich zu langsam ....
 
WOW! DANKE!
Immer wieder wahnsinn, dieses Forum und die schnelle Hilfe zu jedem Thema!

@noVisper
In der Tat, es ist zu lange her. Vor allem, wenn man es im Alltag nie braucht vergisst man so etwas schneller als einem lieb ist. Geht zumindest mir so.
 
(1) a^2 + b^2 = c^2
(2) a + b = 21 -> umstellen ergibt: b = 21 - a
(3) c = 15

(2) und (3) Einsetzen in (1):
a^2 + (21-a)^2 = 15^2
a^2 + 441 - 42a + a^2 = 225 (2. Binomische Formel)
2 a^2 - 42a + 216 = 0
a^2 - 21a + 108 = 0
... (Nullstellenberechnung)

zu langsam ...
 
wie du aus der "letzten Gleichung" ( siehe #2 oder #5) wieder eine Quadratische machst mit einer quadratischen Ergänzung ist klar ...?
 
Echt toll, wieviele Hilfsbereite sich hier auf ein (macfremdes) Thema stürzen.

Ja noVisper, vielen Dank, habs hinbekommen. Musste ich zwar auch nochmal kurz googeln, aber konnte wenigstens alles nachvollziehen. Konnte mich nur leider vorher nicht melden, kann nur meine Pause nutzen :)
Besten Dank nochmals euch allen!
 
imacer schrieb:
Echt toll, wieviele Hilfsbereite sich hier auf ein (macfremdes) Thema stürzen.

Ja noVisper, vielen Dank, habs hinbekommen. Musste ich zwar auch nochmal kurz googeln, aber konnte wenigstens alles nachvollziehen. Konnte mich nur leider vorher nicht melden, kann nur meine Pause nutzen :)
Besten Dank nochmals euch allen!
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Toll wäre es allenfalls, wenn die Helfer auch die vollständige Lösung angeben würden. Auch wenn man die "Mitternachtsformel" kennen sollte, gehört sie doch zu einer vollständigen Lösung dazu. Lösungen ala Mathelehrer (alles Triviale breittreten bis zum Geht-nicht-mehr, gefolgt von einem "daraus sieht man leicht, daß ..." oder "... Blabla, fertig." und dann irgendetwas hinschreiben was mit der letzten erklärten Formel nichts erkennbares zu tun hat - oder nicht mal das!) sind nur bedingt hilfreich, sondern führen dazu daß viele "Normalschüler" dann halt sagen "Mathe kann ich nicht, ist ein Scheiss!". Aber so ist das halt: Wer Mathematik versteht, kann sie nicht erklären, und wer sie nicht versteht, kann mit den "Erklärungen" der Mathematiker nix anfangen.
 
Moin,

walfrieda schrieb:
Toll wäre es allenfalls, wenn die Helfer auch die vollständige Lösung angeben würden. Auch wenn man die "Mitternachtsformel" kennen sollte, gehört sie doch zu einer vollständigen Lösung dazu. Lösungen ala Mathelehrer (alles Triviale breittreten bis zum Geht-nicht-mehr, gefolgt von einem "daraus sieht man leicht, daß ..." oder "... Blabla, fertig." und dann irgendetwas hinschreiben was mit der letzten erklärten Formel nichts erkennbares zu tun hat - oder nicht mal das!) sind nur bedingt hilfreich, sondern führen dazu daß viele "Normalschüler" dann halt sagen "Mathe kann ich nicht, ist ein Scheiss!". Aber so ist das halt: Wer Mathematik versteht, kann sie nicht erklären, und wer sie nicht versteht, kann mit den "Erklärungen" der Mathematiker nix anfangen.
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Toll, wieviel Licht Du ins mathematische Dunkel gebracht hast.
 
Toll wäre es allenfalls, wenn die Helfer auch die vollständige Lösung angeben würden. Auch wenn man die "Mitternachtsformel" kennen sollte, gehört sie doch zu einer vollständigen Lösung dazu. Lösungen ala Mathelehrer (alles Triviale breittreten bis zum Geht-nicht-mehr, gefolgt von einem "daraus sieht man leicht, daß ..." oder "... Blabla, fertig." und dann irgendetwas hinschreiben was mit der letzten erklärten Formel nichts erkennbares zu tun hat - oder nicht mal das!) sind nur bedingt hilfreich, sondern führen dazu daß viele "Normalschüler" dann halt sagen "Mathe kann ich nicht, ist ein Scheiss!". Aber so ist das halt: Wer Mathematik versteht, kann sie nicht erklären, und wer sie nicht versteht, kann mit den "Erklärungen" der Mathematiker nix anfangen.
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Hier tust du den Mathematikern (Mathematiklehrer wäre, wenn es um Schüler geht, besser) unrecht. In der Mathematik unterteilt man Problemstellungen gerne in einzelne Sätze, Theoreme, Lemmata usw., deren Beweis häufig leichter überschaubar ist (von der Länge her) und auf die man sich dann bei anderen Beweisen beziehen kann um diese abzukürzen. Das macht man nicht, um andere zu ärgern, sondern um die Struktur und wichtigen Beweisschritte zu betonen und Wiederholungen zu vermeiden. Von daher halte ich es für vollkommen ausreichend, wenn die Leute hier bei der Lösung aus den beiden Ausgangsgleichungen eine quadratische Gleichung herleiten und dann auf eine bekannte Formel verweisen.

Erschwerend kommt hier im Forum noch dazu, dass das Forum über kein LaTeX-Modul verfügt und man daher auch noch damit beschäftigt ist eine halbwegs lesbare Lösung zu produzieren. Wenn man da bekannte Umformungsschritte weglässt, finde ich das durchaus legitim.
 
Die erste Antwort von 2go war in diesem Fall vollkommen ausreichend. Ich brauchte nur einen Lösungsansatz und ein Stichwort wie quadratische Ergänzung. Wollte ja nicht alles vorgekaut bekommen. Es ist ja hier auch kein Nachhilfeforum, so dass ich der "Kritik" (als solche habe ich den Beitrag aufgefasst) nicht zustimmen möchte.
Alles wunderbar, danke nochmals :)
 
@imacer: Danke für's Danke.
@NoVisper: Danke auch für die kleine Korrektur.
@walfriede: Wenn Dir was nicht passt, dann mach's halt besser.
 
TEXnician schrieb:
Hier tust du den Mathematikern (Mathematiklehrer wäre, wenn es um Schüler geht, besser) unrecht. In der Mathematik unterteilt man Problemstellungen gerne in einzelne Sätze, Theoreme, Lemmata usw., deren Beweis häufig leichter überschaubar ist (von der Länge her) und auf die man sich dann bei anderen Beweisen beziehen kann um diese abzukürzen.
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Das ist absolut legitim, wenn man es für sich selber macht. Es stört mich ja nicht, wenn jemand eine Umformung über fünf Schritte "einfach sieht". Etwas anderes ist es, wenn man es anderen erklären soll, was nunmal eigentlich die Aufgabe eines Mathelehrers sein sollte. Ich kann - um mal ein anderes Beispiel zu wählen, wo Mathematiker dann straucheln - in meiner Vorlesung den Studenten auch nicht nur die Formeln der vier DNA-Basen an die Tafel schreiben, und dann sagen: Daraus sieht man leicht, daß die DNA-Helix eine grosse und eine kleine Rinne hat. ICH "sehe das leicht" - aber ich bin sicher, meine Studenten sehen es frühestens dann, wenn ich es erkläre.
 
Es ging ja am Ende nur darum Lösungen einer quadratischen Gleichung zu bestimmen. Da diese Aufgabe Teil einer Matheklausur über Satz des Pythagoras und quadratische Gleichungen ist, kann man davon ausgehen, dass die Schüler das Lösen von quadratischen Gleichungen (ob nun mit einer Formel oder per Hand) im Unterricht vorher ausgiebig gelernt und geübt haben (imacer ist zwar kein Schüler mehr, aber da er seine Hilfe bei dem Thema angeboten hat, würde ich davon ausgehen, dass er mit dem Lösen quadratischer Gleichungen vertraut ist) und daher auch beherrschen. Daher ist es mMn durchaus legitim auf die passende Formel zu verweisen und diese nicht noch einmal explizit hinzuschreiben. Die Lösung wird dadurch übrigens nicht "vollständiger", denn dadurch, dass jemand die Formel abschreibt, wird ja die Formel nicht bewiesen. Deren Beweis müsste man also ohnehin kennen oder darauf vertrauen, dass die Formel richtig ist.

Und wenn der Verweis auf die Formel nicht ausreicht, kann man ja nachfragen. In Mathematik-Foren ist es übrigens üblich Beweise nur zu skizzieren bzw. nur eine Beweisidee zu geben (und erst auf konkrete Nachfragen zu einzelnen Teilen, diese Lücken zu füllen). Das hat gleich mehrere Vorteile. Zum einen kann ein Student so nicht Lösungen einer Übungsaufgabe schnorren, er muss schließlich den Beweis noch ausarbeiten. Und zum anderen hilft es dem Studenten den Stoff zu verstehen, wenn er die Beweisidee durcharbeitet und nach Bedarf vervollständigt. Bei Erwachsenen Menschen (imacer ist ja einer und zeigt ja im Gegensatz zu so manchem Schüler auch Interesse und Motivation die Aufgabe zu lösen) kann das Weglassen von Details also durchaus in seinem Sinne sein.
 
TEXnician schrieb:
Es ging ja am Ende nur darum Lösungen einer quadratischen Gleichung zu bestimmen. Da diese Aufgabe Teil einer Matheklausur über Satz des Pythagoras und quadratische Gleichungen ist, kann man davon ausgehen, dass die Schüler das Lösen von quadratischen Gleichungen (ob nun mit einer Formel oder per Hand) im Unterricht vorher ausgiebig gelernt und geübt haben (imacer ist zwar kein Schüler mehr, aber da er seine Hilfe bei dem Thema angeboten hat, würde ich davon ausgehen, dass er mit dem Lösen quadratischer Gleichungen vertraut ist) und daher auch beherrschen. Daher ist es mMn durchaus legitim auf die passende Formel zu verweisen und diese nicht noch einmal explizit hinzuschreiben. Die Lösung wird dadurch übrigens nicht "vollständiger", denn dadurch, dass jemand die Formel abschreibt, wird ja die Formel nicht bewiesen. Deren Beweis müsste man also ohnehin kennen oder darauf vertrauen, dass die Formel richtig ist.

Und wenn der Verweis auf die Formel nicht ausreicht, kann man ja nachfragen. In Mathematik-Foren ist es übrigens üblich Beweise nur zu skizzieren bzw. nur eine Beweisidee zu geben (und erst auf konkrete Nachfragen zu einzelnen Teilen, diese Lücken zu füllen). Das hat gleich mehrere Vorteile. Zum einen kann ein Student so nicht Lösungen einer Übungsaufgabe schnorren, er muss schließlich den Beweis noch ausarbeiten. Und zum anderen hilft es dem Studenten den Stoff zu verstehen, wenn er die Beweisidee durcharbeitet und nach Bedarf vervollständigt. Bei Erwachsenen Menschen (imacer ist ja einer und zeigt ja im Gegensatz zu so manchem Schüler auch Interesse und Motivation die Aufgabe zu lösen) kann das Weglassen von Details also durchaus in seinem Sinne sein.
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Da haben wir ein wunderbares Beispiel, wie das Vermitteln von Mathematik im Schulunterricht nicht funktionieren kann (im Mathe-Studium ist das was anderes, da hat man normalerweise sein Studienfach ja nach Neigung und Talent ausgesucht).

Irgendwie sind die Mathelehrer - wie du es richtig beschreibst - mehr daran interessiert, irgendwelche "mathematischen Beweise" an die Tafel zu schreiben, als zu erklären wie man etwas ausrechnet. Schlimmer noch: sie halten den Beweis bzw. die Herleitung für eine "Erklärung" - und sind vollkommen perplex, wenn man ihnen offenbart daß eine Formel für Nicht-Mathematiker niemals eine Erklärung ist. Sie ist erst dann eine prima Sache, wenn man das Vorgehen verstanden hat. Die Beweise wiederum interessieren 90% der Schüler nicht, und sie helfen auch exakt Nullkommanull wenn man in der Klausur oder im täglichen Leben vor einer Aufgabe sitzt, für die man keinen Ansatz findet (weil einem das natürlich nicht erklärt wurde). Das war schon damals bei mir in der Schule so, und ist heute noch so, wie mir mein Sohnemann erzählt hat der gerade sein Abi gemacht hat (und übrigens zu den 10% gehört, der die Beweise interessant findet). Das Problem ist, daß tatsächliche Lösungswege (also "wie finde ich einen Ansatz, dieses Problem zu lösen?") viel zu wenig erklärt werden.
Ich musste mir die gesamte Mathematik, die ich in meiner wissenschaftlichen Arbeit brauche (und das ist nicht wenig), komplett selbst "beibringen". Heute bin ich recht firm in Statistik, Regressionsanalyse, Datennormierung, etc. pp., auch dank mehrerer MOOC-Kursen, die zeigen daß man etwas wie Mathematik tatsächlich auch erklären kann. Der Schulunterricht und die Mathe-Pflichtvorlesungen an der Uni ("Mathematik für Biologen" und so...) haben mir da praktisch nix gebracht. Komischerweise erkläre ich (als in der Schule erklärte "Mathematikniete") heute meinen Diplomanden und Doktoranden, wie man etwas rechnet. Schon verrückt.
 
Moin,

walfrieda schrieb:
Irgendwie sind die Mathelehrer - wie du es richtig beschreibst - mehr daran interessiert, irgendwelche "mathematischen Beweise" an die Tafel zu schreiben, als zu erklären wie man etwas ausrechnet. Schlimmer noch: sie halten den Beweis bzw. die Herleitung für eine "Erklärung"
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Ich weiß ja nicht, wann und wo Du Matheunterrricht genossen hast, aber zumindest hier in Hamburg finden Beweise im Matheunterricht praktisch nicht mehr statt. Hier ist man pädagogisch schon wesentlich weiter. Hier wird der Matheunterricht zunehmend praxisorientiert.
 
WollMac schrieb:
Ich weiß ja nicht, wann und wo Du Matheunterrricht genossen hast, aber zumindest hier in Hamburg finden Beweise im Matheunterricht praktisch nicht mehr statt. Hier ist man pädagogisch schon wesentlich weiter. Hier wird der Matheunterricht zunehmend praxisorientiert.
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Schön zu hören - mögen Schüler dann den Mathematikunterricht, oder ist das immer noch Haßfach Nummer 1?
 
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