Stimmt, jetzt, wo BCHMEMBER es sagst (ich habe nur die Präambel überprüft und selbst versucht durch Eingabe von äüöß einen Fehler zu erzeugen). Du versuchst beispielsweise im ersten Abschnitt des zweiten Dokuments das Wort Bemühungen zu schreiben und versuchst wohl über direkte Latex-Codeeingabe (wie auch immer man das in Lyx erreichen kann, aber egal) das ü durch \"{u} zu setzen (lese ich aus dem Code heraus, den man sich anzeigen kann). Normalerweise funktioniert das auch (d.h. \"{u} wird im gesetzten Dokument zu ü), nur hast du dort bei der Eingabe wohl einen Fehler gemacht, denn im Quelltext steht Bemu\"{ }hungen, obwohl es Bem\"{u}hungen heißen müsste. Diese Fehler werden bei mir auch fehlerhaft angezeigt.
Allerdings habe ich auch eine gute Nachricht, da du die Fontcodierung latin9 verwendest (und das Paket inputenc mit der passenden Option aufrufst (das erledigt Lyx für dich automatisch, also keine Sorge)), musst du nicht mehr \"{u} für ü im Text schreiben (und analoge Befehle für äöß), sondern einfach nur ü eingeben. So wird aus Bemühungen bei der Eingabe auch Bemühungen im gesetzten Dokument, ganz ohne Schwierigkeiten.
Wenn das wirklich das Problem sein sollte, hätte dir aber auffallen können, dass du in der ersten Überschrift im Quelltext einfach Einführung geschrieben hast und in der PDF-Ausgabe Einführung steht. Ein Hinweis wie "nicht alle Umlaute werden falsch angezeigt" hätte mir nämlich sehr geholfen, denn ich bin davon ausgegangen dass du Umlaute ganz normal über die Tastatur eingibst (also indem du beispielsweise die mit ü beschriftete Taste drückst) und somit keine Umlaute richtig angezeigt werden. Dann hätte ich nämlich Vorgeschlagen zu schauen, was in der Quelldatei bei richtig angezeigten und falsch angezeigten Umlauten anders eingegeben wurde, und wir wären vermutlich sehr schnell auf den Fehler gestoßen.
Sollte das nicht das Problem sein, bin ich recht ratlos.