Das Base System kann nicht gelöscht werden, weil das ist das, was da gerade läuft... Ansonsten müsste im FPDP die Festplatte (bzw. SSD) angezeigt werden. Die würde ich dann erst einmal neu formatieren (hfs+, journaled).
Edit: Ich hab da gerade ein Denkproblem: Muss ich bei der Internet-recovery am Anfang überhaupt meine Apple ID angeben? Ich denke, eher nicht, sondern erst nach der Installation bei Updates aus dem AppStore. Wenn ich aber die interne Recovery habe und vorher ein OS im App Store "gekauft" hatte, dann natürlich ja.
Also dürfte es beim TE nicht die Internet-Recovery sein, sondern definitiv eine lokale Recovery. Und wenn die fehlerhaft ist, wäre das eine Erklärung.