Einige Mail-Provider bieten sowas wie einen Umzug an. Dabei gibst du denen den IMAP-Login des aktuellen Accounts und die ziehen dann alle Mails in deinen neuen Account um.
Du kannst aber auch den neuen Account zusätzlich in deinem Mail-Account anlegen und die Mails per Drag'n'Drop verschieben. Aber Achtung: manche Mail-Provider drosseln die Geschwindigkeit herunter, wenn viele Mails transferiert werden. Gmail ist z.B. so ein Vertreter die sogar recht stark drosseln.