Matheproblem .. kennt sich jemand mit Splines aus?

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zerozero

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Hallo, habe ein großes Problem:

Bei meinem Numerikprojekt geht es darum folgende
Aufgabe zu lösen:
------------------------------------------------------------
Vorgelegt sei eine Punktefolge x,y. Berechnen Sie für jeweils
3 Punkte ein Interpolationspolynom 2.Grades.
------------------------------------------------------------- -

Wie löse ich damit meine Aufgabe? Hat jemand eine gute
Internetquelle oder ein Skript dazu. Oder vielleicht einen Ansatz für
mein Problem, ich finde leider keinen...

Vielen Dank an alle Hilfsbereiten!
 
Helfen direkt leider nicht, aber versuch es mal hier:

Matheplanet

Dort gibt es auch ein kompetentes Forum, das dir sicher gerne weiterhilft.

Horror
 
Sogar ich muß nach Analysis 1-3, ITPDG und Lineare Algebra damit passen...

Sorry..
 
habs auch schon auf www.matheraum.de probiert ... aber keiner antwortet mir ... bin verzweifelt..
 
hallo,

deine grundgleichung lautet ja: f(x) = a x^2 + b x + c. durch die drei gegebenen punkte aus der punktewolke ergeben sich doch drei gleichung -> f(x1) = a x1^2 + b x1 + c; f(x2) = a x2^2 + b x2 + c; f(x3) = a x3^2 + b x2 + c. a, b und c lassen sich also loesen. sollen die splines ableitbar in den verbindungspunkten sein, koenntest du ein problem haben, da dann dein gleichungssystem unter umstaenden ueberdefiniert ist.

gruss
 
@nonsense

genau das ist mein problem ... in den verbindungspunkten (Knoten) sollen die
Funktionen
1.) Gleich sein
2.) die Steigung gleich sein (1.Ableitung)
3.) die Krümmung gleich sein (2.Ableitung)

ich weiß nicht weiter ... und die Mathematiker in den Matheforen antworten nicht :-(
 
ich bin zwar kein mathematiker (nur ein ingenieur), aber mir scheint das gleichungssystem ueberdefiniert, wenn dein spline durch alle punkte laufen soll und du dann eben auch noch die erweiterten randbedingungen verbacken willst. so wie es aussieht, muss da ein polynom dritter ordnung her -> cubic spline. wie dann das gleichungssystem geloest wird siehst du hier: http://mathworld.wolfram.com/CubicSpline.html.

das ganze ist wie du siehst auch nicht mehr so trivial.

gruss
 
Ich wollte auch Kubische-Splines nehmen ... darf ich aber nicht ... Das Projekt hat diese Vorgaben:

hier die Aufgabenstellung:
--------------------------------------------
Projekt Numerik (17)

Erläutern Sie den verwendeten Algorithmus.
Schreiben Sie ein Programm, welches Sie mit einem einfachen leicht
nachvollziehbaren Beispiel testen und lösen Sie mit diesem Programm
die Aufgabe.
Überprüfen Sie die Ergebnisse mit Mathematica.

Vorgelegt sei eine Punktefolge x,y. Berechnen Sie für jeweils 3 Punkte
ein Interpolationspolynom 2.Grades und einen Algorithmus für die
Ermittlung des interpolierten Wertes y(x) für ein beliebiges x im vorgegebenen
Intervall.

x y
-------------------
8 12,5
9 15,2
10 10,3
11 4,2
12 0,0
13 -5,5
14 -1,8
15 9,0

Vorführung: Eingabe eines x-Wertes, Anzeigen des interploierten y-Wertes.
Eventuell Grafik.
------------------------------------------
 
trotzdem ist dein problem aehnlich dem des cubic-splines. die frage sollte jetzt erstmal sein, ob das gleichungssystem ueberdefiniert ist oder eben nicht, also ob dein spline durch alle drei punkte laufen kann und zusaetzlich kruemmung und ableitung angepasst werden kann. da du nur drei koeffizienten hast, sollte das schon probleme machen. vielleicht muss der mittlere punkt ja nicht auf dem spline liegen. dann kannst du den loesungsansatz von cubic-spline nehmen und laesst die randbedingungen fuer den mittleren punkt weg.

gruss
 
könntest du mir ein bsp. geben? versteh das nicht so richtig, um die Randbedingung für den mittleren Punkt wegzulassen.

Wäre dir sehr sehr sehr dankbar.
Ich fühl mich zur Zeit, als würde mir jemand den Boden unter den Füßen
wegziehen. Schreibe in 3 Wochen einige Klausuren und gestern haben wir
diese Projekt noch bekommen :( oh man
 
habe erstmal die ersten drei Stützstellen genommen (8; 12,5) (9; 15,2) (10; 10,3)
Da erhalte ich als Funktion -3,8x² + 67,3x - 282,7.

Jetzt weiß ich aber nicht mehr wie ich weiter vorgehen soll?
Jetzt wollte ich das mit diesen 3 Stützstellen machen (9; 15,2) (10; 10,3) (11; 4,2)
usw.
Das bringt aber irgendwie nichts.
 
Ich versteh auch nicht, dass ich die Cubic-Splines nutzen soll, da ich dann ja eine Polynomfunktion 3.Grades bekomme. Aber das darf ich ja nicht?


Vielen Dank für die Hilfe ...
 
nein, du kannst nicht die gleichungen seperat loesen, da sie voneinander abhaengen!

so hier nun ein ansatz: du hast m punkte, es ergeben sich j funktionen. da du drei punkte pro spline verwendest ergibt sich j = (m - 1)/2. allgemein laesst sich dein spline wie folgt beschreiben (gefolgt vom unterstrich kommt der index!!!):

f_i (x) = a_i x^2 + b_i x + c_i

i ist ein laufender index von 1 bis j
um nun die koeffizienten loesen zu koennen benoetigst du randbedingungen. diese lauten wie folgt:

1.) f_i (x_(2i-1) ) = y_(2i-1)
2.) f_i (x_(2i+1) ) = y_(2i+1)
3.) d/dx f_i (x_(2i+1) ) = d/dx f_(i-1) (x_(2i+1))
4.) d^2/dx^2 f_i (x_(2i+1) ) = d^2/dx^2 f_(i-1) (x_(2i+1))

wie gesagt, gefolgt vom unterstrich kommt der index, auch zum teil geklammert. du siehst, deine randbedingungen von gleichung i haengen also von der vorigen gleichung ab, das bedeutet du musst alle gleichungen (j-stueck) auf einmal geschlossen loesen. jetzt muss noch eine startbedingung fuer der ersten punkt (ableitung und kruemmung) festgelegt werden.

gruss

ganz vergessen: was studierst du, wo und in welchem semester?
 
Zuletzt bearbeitet:
puhhh ... das ist ein ganz schönes Stück ...

wie soll ich die Startbedingung für den ertsen Punkt wählen / festlegen ?
Einfach willkührlich?
 
1.) f_i (x_(2i-1) ) = y_(2i-1) // das muss hier 2i+1 sein, oder ?
2.) f_i (x_(2i+1) ) = y_(2i+1)

Verstehe nicht, wieso der index 2i+1 ist?
 
antwort auf vorletzte frage:

das ist eine gute frage: da dir am anfang und am ende ein punkt fehlt um die kruemmung und die ableitung zu bestimmen bist du da recht frei in deiner wahl. du kannst beide ableitungen 0 setzten, dann werden allerdings deine splines eventuell einschwingen. vielleicht ist es schoener den y-wert aus punkt_2 in punkt_0 zu kopieren. das gleiche gilt ueberigens auch fuer den letzten punkt. du laesst also deine interpolationsfunktion vor dem eigentlichen anfang und nach dem eigentlichen ende ein- bzw. ausschwingen. ich denke, das ist aber eher eine bonusaufgabe. versuche mal mit ableitung und kruemmung =0 zu starten. bin mal gespannt, ob das geht!

gruss
 
Zuletzt bearbeitet:
1.) f_i (x_(2i-1) ) = y_(2i-1) // das muss hier 2i+1 sein, oder ?
2.) f_i (x_(2i+1) ) = y_(2i+1)

Verstehe nicht, wieso der index 2i+1 ist?
Zum Vergrößern anklicken....

die ersten zwei randbedingungen managen nur, dass der spline durch den jeweils ersten und den jeweils dritten punkt verlaeuft.

gruss
 
Könntest du mir ein Bsp. z.B. mit meinen ersten drei Stützstellen geben,...
(8; 12,5) (9; 15,2) (10; 10,3) dann hab ich einen Einstieg und kann mir das
Anhand der Zahlen klarer vorstellen. DIe Bezeichnung wirken auf mich ein wenig kryptisch, weil Mathe/Numerik nicht meine Stärke ist.

Ganze lieben Dank.
 
ich versteh auch noch nicht für wieviele Polynomfunktion ich das dann ausrechne?
Gleich für alle? Dann hätte ich aber eine Matrix die ich nicht mit dem Gauss-Eleminationsverfahren auflösen kann? Da diese dann mehrer Zeilen
hätte und singulär wäre?

Steh grad wieder auf dem Schlauch
 
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