Mathe-Aufgabe ("Exponential- und Logarithmusaufgaben")

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  1. BGY

    BGY Thread Starter Mitglied

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    noch eine Mathe-Aufgabe! ("Exponential- und Logarithmusaufgaben")

    Ich beiss mir nun schon ne ganze Weile an dieser Aufgabe die Zähne aus:

    Kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich diese Aufgabe lösen muss?

    Die Lösung, auf die ich kommen sollte, ist P(e/1).

    Wers weiss, kriegt nen Kuchen! :cake:

    :D
     
  2. Zapfenzieher

    Zapfenzieher Mitglied

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    Differential bilden: D ln(t) = 1/t

    Tangente an ln im Punkt t hat die Form: y(x)=1/t*x+b

    Tangente geht durch den Ursprung: 0=y(0)=b

    Tangent hat somit Form y(x)=1/t*x.

    Im Schnittpunkt gilt x=t und Tangente beruehrt ln, also folgt y(t)=1=ln(t)

    Aus 1=ln(t) folgt e=t.
     
  3. BGY

    BGY Thread Starter Mitglied

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    Danke für die schnelle Antwort. Allerdings ist mir die Aufgabe immer noch nicht ganz klar.

    y(x)=(1/t)*t+b oder y(x)=1/(t*x)+b?

    Vom "und" an komm ich nicht mehr wirklich nach... Warum ist jetzt y(t)=1?

    Danke :)
     
  4. Sir_RamDac

    Sir_RamDac Mitglied

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    y(x)=(1/t)*x+b

    Der Anstieg der Geraden und der Funktion (im 'Schnittpunkt') sind gleich.

    y(t)=(1/t)*t = 1
     
  5. Mabbel

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    Also ich hatte ja auch grade Logarithmen in der Schule, aber sowas ist mir noch nicht untergekommen =)

    Nur mal so aus Interesse - welche Klasse und welche Schulart bist du? :D
     
  6. Zapfenzieher

    Zapfenzieher Mitglied

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    Das ist auch keine Aufgabe um Logarithmen sondern um Differentialrechnung zu üben.

    Logarithmen werden viel früher behandelt als die Differentialrechnung.

    Der Logarithmus hier war einfach nur Teil des Beispiels. Analog hätte man auch irgend eine andere Funktion nehmen können.
     
  7. BGY

    BGY Thread Starter Mitglied

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    Danke für alle Antworten, jetzt geht es! :D War wohl auch schon ein wenig müde gestern...

    Ich bin in der 4. Kanti aka Kantonsschule aka Gymnasium. Dieses Jahr hab ich die Matura, und das ist eine von 100 Übungsaufgaben, die der Lehrer für die mündliche Matura verteilt hat.

    Eigentlich ist es eine Aufgabe, um beides zu üben. :) Jetzt wird halt alles, was wir je durchgenommen haben, in einen Topf geworfen, und die Aufgabe ist wohl unter "Exponential- und Logarithmusfunktionen" zu finden, weil es sich um eine Logarithmusfunktion handelt. :)

    Ps: Ich sitz grad an nem Win-Rechner und hab grad gemerkt, wie nützlich die Mac-weite Rechtschreibeprüfung ist. Hab ich gar nie richtig bemerkt, als ich sie nutzte!
     
  8. Heavok

    Heavok unregistriert

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    Hachja, bin ich froh, dass ich mathe nicht im abi hab:D

    Mfg, Heavok
     
  9. Sir_RamDac

    Sir_RamDac Mitglied

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    Wie kann man denn Mathe nicht im Abi haben :confused:
     
  10. Fabi87

    Fabi87 Mitglied

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    schweinerei......und ich lern das gerade wie blöd?!?!? :mad:
     
  11. janpi3

    janpi3 Mitglied

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    Er könnte zum Beispiel eine Ersatzarbeit schreiben.
     
  12. BGY

    BGY Thread Starter Mitglied

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    So, jetzt hab ich nochmals eine, an der ich mir die Zähne ausbeisse:
    Ich komm einfach nicht dahinter...

    Ach ja: Bitte lieber zwei, drei Wörter ausführlicher sein bei der Antwort und nicht so wenig schreiben wie möglich! :)

    Danke :D
     
  13. janpi3

    janpi3 Mitglied

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    Fauler Sack.


    :hehehe:
     
  14. macintosh85

    macintosh85 MacUser Mitglied

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    Deine Musterlösung stimmt ja schonmal nicht.
     
  15. BGY

    BGY Thread Starter Mitglied

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    Aha. Und wie kommst du darauf?

    Ich bin nicht der beste Gedankenleser, zumal übers Internet...
     
  16. Sir_RamDac

    Sir_RamDac Mitglied

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    Weil die Gleichung fuer m>=0 auch zwei Loesungen haben kann..
     
  17. Zapfenzieher

    Zapfenzieher Mitglied

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    Fall 1: M=0

    Offensichtlich genau eine Loesung: e^2

    Fall 2: M<0:

    Der Logarithmus ist eine streng monoton wachsende Funktion.

    Wiederum existiert genau eine Lösung. Denn mx+2 ist für m<0 streng monoton fallend. Mehrere Schnittpunkte oder kein Schnittpunkt würden zu einem Wiederspruch führen (klar, oder?).

    Fall 3: M>0 (hier wird es interessant)

    In einem allfälligen ersten Schnittpunkt muss die Steigung der Geraden kleinergleich (<=) der Steigung des Logarithmus sein, da die Gerade ja oberhalb des Logartihmus beginnt.

    D(mx+2) = m <= D ln(x) = 1/x also x <= 1/m.

    Der erste Schnittpunkt muss also sicher vor oder bei 1/m liegen.

    Ich muss jetzt los, löse sie heute Abend oder so fertig.
     
  18. Maulwurfn

    Maulwurfn Mitglied

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    Wenn ich den Murks wieder sehe wird mir schlecht! :sick:
    Bin ich froh, dass ich damit schon lange nichts mehr zu tun habe.
     
  19. BGY

    BGY Thread Starter Mitglied

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    Danke für die Erklärung, @Zapfenzieher! :D
     
  20. neptun

    neptun Mitglied

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    mx+2=ln(x) hat genau eine Lösung genau dann, wenn der Graph der Funktion definiert durch f_m(x)=ln(x)-mx-2 die x-Achse genau ein Mal schneidet.

    Also würde ich die Funktionenschar definiert durch f_m(x)=ln(x)-mx-2 untersuchen.

    Ableitung: f_m'(x)=1/x-m

    m<0: Ableitung ist immer positiv, also Funktion monoton wachsend; man erhält genau einen Schnittpunkt mit der x-Achse

    m=0: dies ist der bereits erwähnte Spezialfall; ebenfalls genau ein Schnittpunkt

    m>0: die Ableitung wird 0 bei 1/m, und f(1/m)=-ln(m)-3; also sind (1/m;-ln(m)-3) die Koordinaten des Maximums
    * für m=1/(e^3) liegt dieses Maximum auf der x-Achse, also ebenfalls genau eine Lösung
    * 0<m<1/(e^3): 2 Lösungen
    * m>1/(e^3): keine Lösung

    Die Grafik zeigt die Fälle m=-1, m=0, m=0.01, m=1/(e^3), m=0.5, m=1; der 2te Schnittpunkt im Fall m=0.01 ist auf dem Ausschnitt nicht mehr sichtbar ;)

    [​IMG]
     

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