Es gibt zwei Möglichkeiten, wie du mit einem Mailprogramm Mails abrufst: das POP3- und das IMAP-Protokoll.
Bei POP3 lädst du die Mails vom Server des Mailproviders auf deinen Rechner herunter und auf dem Server ist je nach Einstellung hinterher nichts mehr da. Wenn ein anderer Rechner dann ebenfalls Mails abrufen will, findet er u.U. nichts mehr vor. Jedenfalls sind die Mails immer auf dem Rechner, mit dem du sie abgerufen hast. Wenn du Mails löschst, löschst du sie nur auf dem betreffenden Rechner und musst das auf dem anderen Rechner auch nochmal tun.
Vermutlich ist dein Mailprogramm so eingestellt.
Bei IMAP landet nichts auf deinem Rechner. Du siehst zwar die Mails in deinem Mailprogramm, aber du arbeitest in Wirklichkeit auf dem Server des Mailproviders. Wenn du dann im Mailprogramm eine Mail löschst, löschst du sie direkt auf dem Server. Wenn du dann ins Mailprogramm des anderen Rechners gehst, auf dem ebenfalls das Mailprotokoll IMAP eingestellt ist, ist dann die gelöschte Mail ebenfalls nicht mehr da.
POP3 kann man eigentlich nur noch Leuten empfehlen, die ein tiefes Misstrauen besitzen gegenüber allem, was sich auf fremden Rechnern (dem Server des Mailproviders) befindet.