Mathe Spezialisten hier?

[neirolf]

Hi,

ich befasse mich momentan mit der vollständigen Induktion. Nur leider habe ich da zwei Probleme bei denen ich ohne tipp nicht weiter komme.

1) Zeigen Sie: Sei M eine nichtleere Teilmenge von |N. DAnn gibt es ein m0 in M mit m0 <= m für alle m aus M.
Hinweis: Betrachte die Aussage A: Enthält M eine natürliche Zahl k mit k <=n, so besitzt M ein m0 mit m0 <= k für alle k aus M.

Was ich bisher weiß ist, dass M nach unten beschränkt ist und ein kleinstes Element besitzt. Aber weiter komm ich nicht.

2) f0 := 0, f1 := 1. Für n >= 2 gelte fn = fn-1 + fn-2.

Zeige: fn = 1/wurzel5 (((1 + Wurzel5)/2)^n - ((1 - Wurzel5)/2)^n)

Hier hab ich überhaupt keinen Ansatz. Bin für jeden Tipp dankbar und bitte meine schreibweise zu entschuldigen, weiß nicht, wie ich es anders darstellen soll.

MfG
Florian

 

[Pharell]

Helfen kann ich Dir leider nicht, aber wenn ich das lese, dann...

Mathe war echt mein Haßfach!

 

[Wile E.]

1) Zeigen Sie: Sei M eine nichtleere Teilmenge von |N. DAnn gibt es ein m0 in M mit m0 <= m für alle m aus M.
Hinweis: Betrachte die Aussage A: Enthält M eine natürliche Zahl k mit k <=n, so besitzt M ein m0 mit m0 <= k für alle k aus M.

Ganz spontan wuerde ich sagen: Ansatz fuer die Induktion ist die kleinstmoegliche Wahl von M, also eine beliebige einelementige Menge. Fuer die zu zeigen, dass die Aussage gilt, ist trivial (M_1:={m_1} -> m_1=:m0<=m:=m_1 klar). Dein Induktionsschritt ist dann eine Menge M_n Teilmenge von N, fuer die die Aussage gilt, und eine Menge M_n+1 bestehend aus M_n={m_1, ... , m_n} vereinigt mit {m_n+1}, fuer die Du Deine Annahme zeigen musst. Dann gibt es die zwei Moeglichkeiten, dass Dein m0 aus der Menge M_n immernoch kleinstes Element ist oder dass eben nicht, dann ist m_n+1 das neue kleinste Element. Fertig.

Wile

P.S.: Bin aber kein Spezialist, hab immer ewig fuer Induktionen gebraucht...

 

[macnewbee]

Hi,

zu 2. kann ich dir schonmal sagen, dass es sich bei fn um die Fibunacci-Zahlen handelt.
Ansonsten versuch dich einfach stur an das Kochrezept (Induktionsanfang, Induktionsschritt..)zu halten, dass ihr dazu durchgenommen habt.
Es ist normal das nicht sofort zu verstehen. Bei mir hat es etwas 1/2 Jahr gedauert bis ich es verstanden habe.

ciao

 

[Friedemann]

Du musst es wirklich nur für ein beliebiges fn sowie ein fn+1 zeigen und schon bist du fertig. Verstehen muss man das nicht..

 

[Wile E.]

zu 2. kann ich dir schonmal sagen, dass es sich bei fn um die Fibunacci-Zahlen handelt.
Ansonsten versuch dich einfach stur an das Kochrezept (Induktionsanfang, Induktionsschritt..)zu halten, dass ihr dazu durchgenommen habt.
Es ist normal das nicht sofort zu verstehen. Bei mir hat es etwas 1/2 Jahr gedauert bis ich es verstanden habe.

Genau, Induktionsanfang suchen (Fall n=0, Gleichung loesen, fertig), dann Induktionsschritt, sprich irgendwie von n auf n-1 oder noch weniger gehen, denn dafuer weisst Du ja schon, dass die Behauptung stimmt.

Wofuer brauchst Du das, Schule oder Mathe-Einfuehrungsvorlesung?

Wile

 

[Wile E.]

Du musst es wirklich nur für ein beliebiges fn sowie ein fn+1 zeigen und schon bist du fertig. Verstehen muss man das nicht..

Das stimmt so nicht ganz. Am Ende zeigt er es fuer 0 (=n) und fuer 1 (=n+1) und sagt dann, Friedemann hat gesagt, das reicht.
Wile

 

[neirolf]

Ich brauch das für die Uni. Mathe erstes Semester.

Werd dann jetzt mal gucken, was sich da machen lässt.

MfG
Florian

 

[RoQ]

naja, als Rechnung sieht das dann doch so aus, dass du auf der einen seite dein n durch (n+1) ersetzt, und auf der anderen Seite der Gleichung einfach ein Glied, das (n+1) Glied mit einer Addition anhängst... dann zigst du dsa beide Seiten Gleich sind, und damit Hast du es...

q.e.d.

 

[neirolf]

hab ich jetzt gelöst!

aber wie kann man zeigen, das 2*2^n+1 + 3 * (5+2) * 7^n durch 5 teilbar ist?

MfG
Florian

 

[Friedemann]

Das stimmt so nicht ganz. Am Ende zeigt er es fuer 0 (=n) und fuer 1 (=n+1) und sagt dann, Friedemann hat gesagt, das reicht.
Wile

Ich hab nie etwas gesagt. Ich komm aus Bielefeld!

 

[der_Kay]

Ein PDF im Anhang mit der Fibonacci - Induktion. Die Tutoren wollen sehen, dass Du die Eigenschaften des Goldenen Schnittes nachgeschlagen hast und anwenden kannst. Du solltest die Mini-Funktionalgleichungen aber der Vollständigkeit halber auch beweisen, das sind Einzeiler.
Und keinesfalls Rechenorgien mit Exponenten und Brüchen abgeben!

@macnewbee:
Diese Induktion ist dazu da, die Leute mit den "Kochrezepten" in den Wahnsinn zu treiben.

Wir bekamen unmittelbar hinter dieser Induktion die Aufgabe:
"Zeige, dass jede 3. Fibonacci-Zahl gerade ist" (wobei f_1 und nicht f_0 die erste Fibo-Zahl sein soll.) Das ist simpelst. Aber einige Schlaumeier fingen an, die geschlossene Form der Fibo-Zahlen als Induktionsansatz zu verwenden. Einige rechnen immer noch...